Spherical coordinates derivation of the volume of a sphere $\left(\frac{4}{3}<!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{R}^3\right)$ .
The formula $S$ for a sphere of radius $R$ in spherical coordinates is:
$S=\left\{0\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\le <!--\; \le \; -->2<!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},0\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},0\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\le <!--\; \le \; -->R\right\}$ $$\begin{array}{rl}\text{Volume}& =\underset{S}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2<!--\; \; -->sin<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}<!--\; \; -->d<!--\; d\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}<!--\; \; -->d<!--\; d\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}<!--\; \; -->d<!--\; d\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\\ & ={\int <!--\; \int \; -->}_0^{2<!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}d<!--\; d\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}<!--\; \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}sin<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}<!--\; \; -->d<!--\; d\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}<!--\; \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^R{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2<!--\; \; -->d<!--\; d\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\\ & =\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{|<!--\; |\; -->}_0^{2<!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}<!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right){|<!--\; |\; -->}_0^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}<!--\; \; -->\frac{1}{3}<!--\; \; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^3{|<!--\; |\; -->}_0^R\\ & =2<!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\times <!--\; \times \; -->2\times <!--\; \times \; -->\frac{1}{3}<!--\; \; -->R^3\\ & =\frac{4}{3}<!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{R}^3\end{array}$$